蔡氏古民居与数学思维
蔡天初
任何建筑，都需要数学的表达。从这一点来说，南安清代蔡氏古民居建筑为明代风格的延续，建筑中的每一个细节都是特别设计的，蕴含的数学思维既具体又抽象，包含诸如数学的比例、集合、射影几何的内容；度量、拓扑、对称关系的原则，都是构成古民居建筑造型美的要素，并使数学因此而増添了惊人的美感。
其实，你只要在建筑群中呆上一日半天，“穿墙透壁”惊鸿一瞥，正如司马迁《史记》所述，可达“究天人之际，通古今之变，成一家之言”。你就会被这些建筑中“数学元素”，非常精炼、非常简朴的“量的关系与空间形式”中存在美的旋律，深深地震撼，而津津乐道。
或许，这和我戊戌年初夏，走进南安古民居建筑群，对蔡厝中这些内容欣赏有关系。
布 局 之 规
进入位于官桥漳里村漳州寮自然村蔡氏古民居建筑群，你会惊异地发现，建筑物整齐分布在东西长200多米、南北宽100多米的长方形区域中。古厝又多集中在东边，沿东西方向，分作5条平行线展开，每行多则6座，少则两座，每座均南北朝向。自不必说，这平面形制足以看出主人在当时就具有非常超前的意识和科学合理的规划布局思维。
我在这些古建筑中来回穿梭，有走入时光隧道之感，毕竟，建筑本身蕴藏许多故事和数学。看得出，在最东端仅建“醉经堂”，门廊两侧额书弄月、吟风，扉联书“醉写唐诗留淡墨”“经心建焙品名茶”，砖雕栩栩如生的历史人物；中厅两侧油漆斑驳的木隔窗，4幅用小木条拼接的篆字，书写“华堂甲第、房阁金屏”“椿萱并秀、兰桂齐芳”，是一座书轩。书轩为建筑群中建造年代最晚、规模最小的一座房子，面积约300平方米，为族内众子读私塾和聚宴休闲之所。醉经堂纵深3进，前面是小花园，中间挂落敞厅，隔着天井，后为灶间库房，空间布局完美。由于第一进与第2进间的天井上方，架设建筑群中唯一配建的“过雨亭”，形如长方体三维空间形态，是构思最别致的一座。
在建筑群最西端，建一座“蔡氏宗祠”，坐西朝东，面阔5间，现仅存宗祠残垣断壁遗址，与之并列的“孝友第”，尚保存完整，为整个群体中最大一座，同是坐西朝东；在建筑群正南方向，隔石埕建有一列细长的长方形排房，地基不高于石埕，屋脊不高于蔡厝大门，东西石砌围墙设院门，构成相对独立院落，是佣人、长工住的，称为“倒屋”，不知为何俗称“回向”；原在北端还有座“戏台”。
有意思的是，在西南角建一座“当铺”。当铺倒有点奇怪，房间又小又矮又暗，大厅和主房坐南朝北，第一进为一列北向平房，只窗无门。说是，当铺为当时附近的榨油厂、榨糖厂、茶厂和市场商铺配套所建。
当然，现存16座蔡厝居中，均坐北朝南，建造顺序由东部向西部方向先后推进，有序毗连。东边有大厝10座，3排3列，西部两排两列，中轴线纵向贯穿，南北纵深，前后在平行线上，山墙之间均留有2米宽具有防火、排水、人行功能的直通道，整体形成“曲”字形网格。前后大厝外墙线对齐，铺砌10米宽石埕，由每一块条石两边各凿一个凹凸的形状，然后拼接相连起来。历经百年，这些石埕依然平整如初，十分显目。石埕使每座大厝相对独立并连为一体，还便于排水并晾晒谷物，埕边与每座大厝一样凿水井一口，辅以几何体井台，颇具匠心。这意味着，蔡厝择地3公顷，自建一个封闭的长方形宗族村落。
那天,在“德典厝”如回家感觉，古居蔡氏第5代（树、德、世、尤、长）孙蔡长进村党支书，十分热情接待我。他说：“德字辈4兄弟（浅、棣、梯、典），最小蔡德典是我曾祖父。第一座厝建于清咸丰五年（1855年），前3座系蔡德浅之父旅菲华侨富商蔡树清所建，后13座为蔡德浅所建，历时50多年。从远处看，蔡厝群就像一把琵琶，一头大一头小，石埕上石板之间缝隙就像琵琶弦。相传蔡厝选址的地点是九天仙女掉落琵琶处。”传说，当时建房子前，蔡树清、蔡德浅父子请来风水先生选地，相中了这块被称为“琵琶穴”的风水宝地。风水先生告诉父子俩：“如果在琵琶穴建房子，有石头敲击不停的声音，你们的财源便会源源不断。”在这“漳州寮”的地方，50年凿石声声，蔡氏一族在南洋的生意也越来越红火。给我留下深刻印象的是，蔡厝建筑坐标轴线取坐北朝南偏西5—10度，夏季南面日晒不入室内，冬季北风被后墙挡住，“冬暖夏凉”十分宜居。
可以看出，蔡氏古民居建筑群是以家族为中心布局建立的，体现了宗族的“立家庙以荐蒸尝，设家塾以课子弟，置义田以赡贫乏，修族谱以联疏远”。只要提起，蔡厝渊源有自的坐标系，我自然会把它们联系在一起。
结 构 之 理
“古大厝”起源于五代十国时的闽国，如今已遍布闽南诸多乡村。蔡氏古民居建筑群“双燕归脊”的厝脊，是闽南古大厝的典型标志，人们称谓，“会说话”的屋顶。
主体建筑为硬山燕尾脊，采用两头微微翘起的优美造型，其好像燕子展翅飞翔，有凌空疾返的曲线感。燕尾脊制作工艺水平相当高超，属于复杂曲率曲面标准构件的平面展开算法，双曲抛物体形式的建筑物。现在借计算机绘图之助，很容易得到3D图样，很难想象当年主事匠师，如何用平面图画表现其造型与空间的。他们如何徒手精准地画一幅解剖图，传达我们现在眼中所见与脑中所想的形体？这是千百年来建筑家们一直探讨的课题。
蔡厝整个屋顶象征天盖，強调“承天”，受天降之恩泽，所以屋顶的装饰兼具祈福、驱煞、防火及排水功能，呈现中国文化敬天与顺乎自然的思想。
这里，建筑重用穿斗式木结构。木结构的梁柱之间，最合理且方便操作的连接关系为直角，4根柱上端架上4根横梁，所围成的立方体被称为“间”，成方建筑的基本单元，也是度量规制的单元，并从面宽几间及进深几间来规范。现存宅第每座有3进或2进5开间，有护厝或东、西厢房，房间近400间。工匠费了很大的气力树立梁柱，其目的就是支撑一座大屋顶（曲面），以收遮阳、挡雨、保暖、防风之用。
蔡厝建筑为硬山顶，左右为卷棚式厢屋，为延伸出檐深度，或为减短梁的长度，大量运用斗拱构造，看上去十分轻盈。复杂的榫卯，将受力的梁柱化整为零，产生许多数学节点，化解外力及传递重量，技巧艰深复杂。斗拱是中国建筑最奇妙的构造，它是一座木结构建筑引人注目的部位。探究斗拱中的数学奧秘，要耗费点气力，不是一件容易之事。当然，还有梁架上支撑材，叉手、驼峰、四椽袱、侏儒柱、托脚、平梁、扎牵、乳袱等，构成复杂完美的空间，构成可提高刚性的三角形，兼具力学与美感的结构。在极逼近的距离仰望细看，令人感受特别深刻。
事实上，山墙的实际功能防火防风，胜于象征意义。蔡厝山墙形式并不多样，我仅见到拉弓形山墙，称“虾姑墙”“马鞍墙”。我认为，根据其振幅、角速度和相位等参数的变化，绘制其正余弦函数图像是一个值得研究的问题，称“余弦函数曲线”更确切。实际上，闽南山墙有金形“圆”、木形“高”、水形“曲”、火形“尖”、土形“平”，反映为五行时空观。
“四序有花常见雨，一冬无雪却闻雷”是官桥气候特点的形象概括。以建筑而论，蔡厝天井紧凑狹窄，陪同我参观的同志说：“天井像大斗，斗是古时装五谷的工具，人们总希望五谷大斗小斗进屋来。”我注意到，天井设计并非如此，而是成“橫宽（宽扁）”长方形的形状，这样可减少日晒面，起到通风、采光、集雨水，形成阴凉环境的作用。在这种外封闭而内通畅的住宅里，引导向上视线，又有“坐井观天”之感。在蔡厝中有的地坪架石条如桥梁，称“四水归堂”，对蔡商而言，更带有“水寓为财可以聚于宅”之意涵，同时体现出强烈的向心性和安全感。
石雕，是一种奢侈的装饰品，但在蔡厝中无处不见。雕刻方式有浮雕、圆雕、透雕、空雕，阴刻、阳刻、影刻等，以石为纸，以刀为笔，图案精美绝伦。凿刻出花鸟魚虫、传说故事、书画作品。寓意深刻的图案与符号，除了装饰外，同时担负着实际的建筑功能作用。我更多的关注“柱础”，柱础是柱子与台基之间的过渡物，早期称为柱石质或柱磉。中囯木结构建筑中，木柱不直接插入地下，而是立在柱础上。柱础之尺寸为柱径之二倍。蔡厝中石础的形状，我见到有圆台、圆柱、鼓形、瓜瓣形、瓜楞形等几何体状，更多的是将整块石材雕成上圆下方的形状。石雕诸法都派上用场，精施用于柱础上，想不到还发现舶来品“象夿柱墩”。我十分喜欢一对雕刻莲花图案石础，可能受印度佛教影响，印度佛教有“佛出生脚踩莲花”的典故。
这次在蔡氏古民居我才注意到，蔡厝大厅与天井交接处的长石条，长度规定要超出大厅前梁架柱两个石础的距离，说这是“出丁”，人丁兴旺。因此，这块大厅前又长又大又白的长方体石条，是蔡厝中最漂亮、最长的一块石条。出乎意料的是，室外台阶是出入口处高差间的联系部件，蔡厝规制“三级台阶”吉数，讲究垫层阶雕刻装饰，体现户主的地位和独特的品位，说是“古人以为有三公之象，因以指三公之位或宰辅重臣。”特别值得注意的是，中国古老封建文化所崇尚的“门当户对”，在蔡厝中也得到充分体现。“户对”即置于门楣上的石雕刻，圆柱形为文官，方柱形为武官，柱形取双数，故名“户对”，用典型的几何体意蕴，大哉数学之为用！
蔡厝“双燕归脊”的“古大厝”，与四周起伏的山峦遥相呼应，相映成趣。营造出一种特殊的建筑文化，其中数学之美令我着迷。
构 件 之 形
微观考察蔡厝，你会发现，建筑上用形状、大小相同的几种平面图形进行拼接。彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。
这种应用主要体现在蔡厝的墙面、地板的铺砖和一些装饰物上。实际上，密铺是复杂多边形的变体，要实现图形密铺是需要一套几何算法的。蔡厝的垣墙用几种规格的红料，经泥水工横、竖倒砌筑，白灰砖缝黏合成红白线条优美的拼花图案，色彩异常强烈，形成独具闽南特色且极富文化内涵的“红砖文化”。每座建筑红砖上隨处可见各种形状图案，有万字堵、海棠花堵、人字体、工字体等花样。外窗顶上的墙面有玉佩卷、古钱币等形式的灰泥塑图案；屋脊和厝正面护栏上，龙凤麟狮、花卉虫鱼等图案，或是来自民间故事，或是来自神话传说，有的甚至是对经文书籍的诠释。这些雕刻画刀法老练，刻画传神的顶尖技艺，形成独特的欣赏格调。特别是运用拼、贴、镶等平面与立体相结合的装饰手段，组成各种几何纹样。其中，包含许多既具体又抽象的数学思维和深刻的内容，内容涵盖“形状、对应、空间、方位、比较、分类、排序、图形、拼摆”等数学概念。特别具有“射影几何学”相仿的美，因为它的基础概念，就是点、线以及相交性这样简朴的概念，把数学概念形象化、数量化、模型化。
几何图案是人类最早使用的装饰纹样，在新石器时代的彩陶装饰中就大量出现，一直沿用至今，是延续时间最长的装饰纹样。从图案内容上看，把几何形图案运用折线代表曲折的山脉，用曲线代表蜿蜒的河流，用线段排列组合成方格图案象征农田，用十字图案象征林木，都作为一种较为固定的图案格局被传统保留下来。在蔡厝见到较多的是，万字堵、海棠花堵、人字体、工字体等花样，门窗圆、拱、菱、方多式多样。还用六角形代表龟甲长寿，八角形代表吉祥，圆形代表圆满，钱纹代表富有，梅花形代表高雅。
当你了解了几何形图案，就不能不被醉经堂上的“一码三箭”、和盘长纹、万字纹作装饰所惊叹。“一码三箭”图案为明清宫殿中常用，古厝中经典之饰，是由三根横棂条组成一组，共三组分别与直棂条的上中下相交，组成几何图案。棂花的直、横棂条均细而长，像箭一样，又因其图案的形象像箭插在箭囊上，故称一码三箭。该样式门窗象征无穷无尽的长箭悬在门窗上，可以避邪、威风、财富的保证。显示有取之不尽的、象征天的力量的武器在此，是何等威风，谁敢来侵犯！其实，图案是从有形转为抽象，从具体转化为概念的，形成有规则排列的几何纹样，并成为图案中最佳元素。
我认为，蔡厝图案大致分为3类：几何形纹、线性形纹和组合形纹：几何形纹有云纹、万字纹、水纹、牙纹、蜈蚣脚纹、蝇脚纹等具有吉祥寓意的纹样，云纹具有突出的地位，有祥云之称；线性形纹有曲线、波线、折线、旋涡线等线性图案，主要以花边的形式进行装饰，应用勾勒手法纹饰边缘，或者将纹饰排列在一起；组合符纹用几何形组合成纹饰，由相同或者不同的几何图形进行组合方式变化形成，有“和谐”“交叉”的意思。
蔡厝几何图案纹，应是非写实性规则图案的概括，图案具备不同的内涵与个性。比如，以直线分割的图形刚毅俊逸，以弧线构架的图形柔和优雅。特别是，有的地方增加同心圆、相切圆、相交圆、外方内接圆、内圆外接方等复杂几何图案，相互组合，作为装饰主体。有的用直线、曲线或圆形与大小不一的三角形、方形、菱形、梯形组合图。
恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”在这一点上，任谁都能看到，蔡厝“图案纹样”包括数与形两方面的内容，就是直线、点及相交性这样简朴的数学几何图形。
型制之美
建筑是数学的物质化表达。给我印象最深的是数学“对称理论”，在蔡厝结构中得到重视，应用在每一座建筑的设计与建造中。
只要你深入观察了解，就可以发现，每一块砖、每一片瓦、每一颗钉，其位置形态、长短、粗细、厚薄，分毫不差，恰到好处，令人震撼。无论是立面、水车堵与门廊檐下彩色绘画装饰，还是正门、仪门、两扇边门，以及前墙上砖下石，石条窗，等等。红砖建筑的创作无一例外地结合了“数学对称”，处处体现着对称的美。让人在感叹建筑工艺巧夺天工的同时，不禁也为古人的智慧所折服。
对称，一直在人类的历史中起到功能性和装饰性的作用，是建筑上诗意的栖居。美国三位著名数学家在《物体的对称》中写道：“图案和对称性对人类的重要性就如同语言和韵律一样。任何文化修饰都依靠视觉节奏来吸引人。”对于数学的对称，是“变换”的观点称其具有对称性，是以“平移对称、旋转对称、反射对称、滑移反射对称”基本操作或几何变换，在平面中的应用为特征。特别是，轴对称和中心对称理论，在蔡厝中显现出独特的美，不胜枚举。
在蔡厝中“黄金分割比、菲波那契数列、九方格”，是很讲究的。比如，蔡浅厝是整个建筑群中布局最完整的，庭北正屋二进，东西护厝，在护厝后的花厅，曾是蔡浅厝精华所在。如今除了一扇石门，半堵石墙和墙脚外，其他巳荡然无存。但保留下这半堵石墙和镶在上面的一块“窗雕”与石门，浓缩了石雕艺术的精华，是炉火纯青的艺术精品。窗雕是由正方形白石，内镶圆形青石雕组成，圆内由三根镂空雕青石圆柱合成，圆柱上刻藤萝瘦竹、凤凰知了、喜雀鹿兔。令人惊叹的是，整堵石墙和整块石窗，传递出“黄金分割”和“九宫格”的信息。
“黄金分割”是指事物各部分间一定的数学比例关系，其比值为1∶0.618，即长段为全段的0.618。“窗雕”上藤萝与圆竹交节点、凤凰知了所在位置、圆柱长短粗细比、柱头与柱身、窗雕圆大小，都体现了“黄金分割比”的应用，包括窗雕在石墙上 1∶0.618的位置。
“九宫格”起源于河图洛书，两幅正方形神秘图案，蕴藏着无穷的奥秘。图案9个框格，对应着从“1到9”9个数字，无论是纵向、横向、斜向、3条线上的3个数字的和皆等于15，数学上称三阶幻方。当年师匠应该是把设计的正方形“窗雕”放在3×3方格盘上，点与点对应构的图，从平面控成立体，宛若神作。同样，石墙上刻满飞禽走兽的浮雕，两旁嵌着的青石透雕块，包括墙脚图案，整堵石墙蕴含着仿人体结构，传递出“黄金分割”和“九宫格”的奥秘。
虽然这里仅剩一块窗雕、一扇石门和一堵石墙，但能亲眼目睹比例的匀称与平衡、圆形的对称与和谐、曲面的柔软与变幻，数学模型之美。
蔡氏古民居建筑群，流淌着数学的优美旋律。伫立蔡厝，感受到飞燕戬尾屋脊、红砖白石墙面、出砖入石墙体、水车堵的堆砌、色彩斑斓面墙、红色的烟灸砖，应用数学原则，达到建筑必有图、有图必有意、有意必吉祥的艺术境界，体现 “天人合一”的中国传统文化内涵和闽南建筑追求吉祥、和谐、堂皇的区域特征，为其他地区民居所罕见。2001年6月，被国务院批准为全国重点文物保护单位。2012年9月，作为闽南红砖建筑，被国家文物局公布为世界文化遗产预备名单，称为民居建筑奇葩。
（本文选自于福建省炎黄文化研究会、省作协“走进八闽”文化采风系列之《走进南安》；图片来源于网络，如有侵权，请联系删除）